divergence中文數學：散度

不同的向量場的散度。向量場自點(x,y)的散度等於它在這個點上的x分量關於x的偏導數與y分量關於y的偏導數的和： ∇⋅(V(x,y))=∂ Vx(x,y)∂x+∂ Vy(x,y)∂y{\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \ {\mathbf {V} _{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \ {\mathbf {V} _{y}(x,y)}}{\partial {y}}}}

散（ㄙㄢˋ）度[1]（divergence）是向量分析中的一個向量算子，將向量空間上的一個向量場（矢量場）對應到一個純量場上。散度描述的是向量場裡一個點是匯聚點還是發源點，形象地說，就是這包含這一點的一個微小體元中的向量是「向外」居多還是「向內」居多。

舉例來說，考慮空間中的靜電場，其空間裡的電場強度是一個矢量場。正電荷附近，電場線「向外」發射，所以正電荷處的散度為正值，電荷越大，散度越大。負電荷附近，電場線「向內」，所以負電荷處的散度為負值，電荷越大，散度越小。向量值函數的散度為一個純量，而二階張量的散度是向量值函數。

定義向量場的散度，首先要引入通量的概念。給定一個三維空間中的向量場A{\displaystyle \mathbf {A} }以及一個簡單有向曲面Σ{\displaystyle \Sigma }，則向量場A{\displaystyle \mathbf {A} }通過曲面Σ{\displaystyle \Sigma }的通量就是曲面每一點x{\displaystyle x}上的場向量A(x){\displaystyle \mathbf {A} (x)}在曲面法向方向上的分量的積分:

ΦA(Σ)=∬ΣA⋅ndS{\displaystyle \Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S}

其中dS{\displaystyle \mathrm {d} S}是積分的面積元，n是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量。如果曲面是封閉的，例如球面，那麼通常約定...