Finite field：有限體

在數學中，有限體（英語：finite field）或伽羅瓦體（英語：Galois field，為紀念埃瓦里斯特·伽羅瓦命名）是包含有限個元素的體。與其他體一樣，有限體是進行加減乘除運算都有定義並且滿足特定規則的集合。有限體最常見的例子是當 p 為質數時，整數對 p 取模。

有限體的元素個數稱為它的階。

有限體在許多數學和計算機科學領體的基礎，包括數論、代數幾何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密碼學和編碼理論。

有限體的階（有限體中元素的個數）是一個質數的冪。 對於每個質數p和每個正整數n在同構的意義下存在惟一的pn{\displaystyle p{n}}階的有限體，並且所有元素都是方程式 xpn−x=0{\displaystyle x{p{n}}-x=0} 的根，該體的特徵為p。 有限體的乘法群是循環群。即若F是有限體，則存在α∈F{\displaystyle \alpha \in F}使得F∗={x∈F|x≠0}=⟨α⟩{\displaystyle F{*}=\{x\in F|x\neq 0\}=\langle \alpha \rangle }。 有限體是完美體，即它的任何代數擴張一定是可分擴張。 有限體的有限擴張一定是伽羅瓦擴張，並且對應的伽羅瓦群是循環群。

設 q = pn 為質數冪， F 為多項式

P=Xq−X{\displaystyle P=X{q}-X}

於質數體 GF(p) 上的分裂體。換言之， F 是最低階的有限體，使得 P 在 F 內有 q 個互異的根（注意 P 的形式導數為 −1≠0{\displaystyle -1\neq 0} ，因此 P 無重根）。

利用二項式定理，可證恆等式

(x+y)p=xp+yp{\displaystyle (x+y){p}=x{p}+y{p}}

在特徵為 p 的體上成立（中一新生之夢）。此恆等式說明 P 任兩根之和或積仍為 P 的根。同時， P 的根的乘法反元素仍是根，因此 P 的根構成一個 q 階的體。由 F 的最小性，可知此體即為 F。

由於分裂體在同構意義下唯一， q 階體也在同構意義下唯一（已證其為 P=Xq−X{\displaystyle P=X{q}-X} 的分裂體）。而且，若體 F 有一個階為 q=p...